Analisi non lineare dei telai in CA.

Nei due numeri precedenti ho illustrato gli elementi finiti trave per l’analisi non lineari di telai in CA basati su formulazioni con cerniere plastiche e a plasticità distribuita con formulazioni agli spostamenti. Questo articolo è dedicato agli elementi trave non lineare a plasticità distribuita con formulazioni alle forze o alle flessibilità. Queste formulazioni si basano sull’idea di utilizzare apposite funzioni di forma per interpolare le forze di estremità della trave al fine di ottenere le caratteristiche della sollecitazione agenti in ciascuna sezione della trave. Il vantaggio di questo approccio consiste nel poter utilizzare funzioni di interpolazioni esatte anche in presenza di non linearità nel comportamento dei materiali, consentendo così di evitare di discretizzare ciascuna membratura in più elementi.

A questo enorme vantaggio computazionale corrisponde una elevata complessità di implementazione. Infatti, le formulazioni alle forze sono più lunghe e complessa da descrivere, comprendere ed implementare rispetto alle altre formulazioni trattate in questa serie di articoli. Inoltre, come sarà evidente più avanti, a causa di problemi computazionali legati alla necessità di invertire le matrici di rigidezza delle sezioni della trave e della matrice di flessibilità dell’elemento, l’applicazione delle formulazioni alle forze è ristretta a problemi in cui la risposta costitutiva degli elementi e delle sezioni non sia affetta da degrado di resistenza.

Poiché la formulazione è già di per sé complessa, evito di dilungarmi eccessivamente su aspetti già trattati nelle parti I e II di questo articolo[1]. In particolare, assumerò che il lettore abbia ben chiaro i seguenti concetti:

• Gli algoritmi risolutivi a livello di struttura sono procedure iterative che, ad ogni iterazione, assegnano valori di tentativo agli spostamenti nodali del modello strutturale. Questi sono assegnati sotto forma di incrementi di spostamento.
• Ad ogni iterazione è necessario determinare la risposta di ciascun elemento agli spostamenti nodali assegnati. In altre parole, è necessario calcolare le forze con cui l’elemento reagisce agli spostamenti nodali imposti e la sua matrice di rigidezza. Le forze reagenti sono determinate in forma incrementale, come risposta all’incremento di spostamento assegnato a livello globale. Inoltre, data la non linearità della risposta degli elementi, la loro matrice di rigidezza (e naturalmente le forze resistenti) dipende in maniera non lineare dagli spostamenti imposti ai nodi.

La matrice di rigidezza e le forze resistenti degli elementi con formulazione agli spostamenti sono valutati mediante il calcolo di integrali di linea che sono determinati mediante formule di integrazione numerica basati sulle regole di quadratura di Gauss-Legendre (Gauss per semplicità) o di Gauss-Lobatto (Lobatto per semplicità). In entrambi i casi è necessario calcolare la matrice di rigidezza della sezione e delle forze reagenti della sezione in corrispondenza di un numero limitato di sezioni della trave, denominate sezioni di controllo o sezioni di quadratura. Benché nel caso della

• formulazione alle forze sia necessario valutare integrali diversi, le regole di quadratura utilizzate sono identiche.
• La risposta delle sezioni di controllo (rigidezza e forze reagenti) sono calcolati mediante integrali di area estesi a ciascuna sezione. Questi sono calcolati mediante quadratura numerica basati sulle regole di quadratura di Gauss estesa a domini bidimensionali o basati sul metodo delle fibre. Questa operazione è eseguita identicamente sia per le formulazioni agli spostamenti che per quelle alle forze.

I dettagli computazionali di quanto sintetizzato sopra sono illustrati nelle parti precedenti di questo articolo. Si tratta di concetti che richiamerò nel corso di questa parte dell’articolo; quindi, se questi concetti non sono chiari, consiglio di rileggere (anche sommariamente) gli articoli precedenti prima di avventurarsi nella lettura di quanto segue […]

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